Du brauchst auf jeden Fall die Erlaubnis deines Vermieters - das ist nicht optional. Auch wenn er sich bisher sperrt, eine Wärmepumpe gilt als bauliche Veränderung und braucht seine schriftliche Zustimmung. Ohne die kannst du damit rechnen, dass er dich zur Rückbau verpflichtet oder dir sogar bei der Rückgabe der Kaution Probleme macht. Es lohnt sich, das Gespräch zu suchen und ihm zu erklären, dass das auch seine Immobilie aufwertet. Manche Vermieter sind da beweglicher, wenn man professionell argumentiert.
Falls er zustimmt: Eine Luft-Luft-Wärmepumpe (nur Heizung, nicht Kühlung) kostet für eine 75qm Wohnung wahrscheinlich irgendwo zwischen 8000 und 15000 Euro netto - je nach Modell und Installationsaufwand. Dazu kommen eventuell Kosten für Leitungen und elektrische Anpassungen. Das ist natürlich ordentlich Geld, und ob sich das amortisiert, hängt stark davon ab, wie lange du noch in der Wohnung bleibst und wie deine aktuellen Heizkosten aussehen.
Ehrlich gesagt, wenn der Vermieter nicht mitspielt, würde ich eher versuchen, weniger zu heizen - bessere Dichtungen an den Fenstern, Thermostaten runterdrehen, strategisch lüften. Das kostet deutlich weniger und funktioniert auch ohne Genehmigung. Eine Wärmepumpe lohnt sich finanziell eher in einem Eigenheim, wo man langfristig von den niedrigeren Heizkosten profitiert.