Vai nel dashboard di Vercel, apri il progetto, vai in Settings > Environment Variables e incolla lì le chiavi che usi nel .env.local. Crea una variabile per ognuna (API_URL, API_KEY, quello che serve) e seleziona in quale ambiente ognuna funziona - Development, Preview, Production, o tutti e tre. Dopo di che quando Vercel fa il build, inietta quelle variabili nel processo e l'applicazione riesce ad accedervi tramite `process.env.NOME_DELLA_VARIABILE`.
Adesso, il punto che molti dimenticano frequentemente: se stai usando variabili che possono essere accessibili solo dal server (tipo password di database o API key segrete), devi usare il prefisso `NEXT_PUBLIC_` solo su quelle che vanno lato client. Tutto quello che non ha questo prefisso rimane al sicuro sul server durante il build. Se metti una chiave sensibile con `NEXT_PUBLIC_`, finisce nel JavaScript che il browser scarica - a quel punto non è più sicuro. Allora stai attento a questa convenzione, perché è facile sbagliare.
Un consiglio utile è anche copiare la struttura del tuo .env.local in un file chiamato .env.example (o .env.local.example), togli i valori reali, e fai il commit nel Git. Così chi lavorerà sul progetto sa esattamente quali variabili deve configurare sia localmente che su Vercel.