Sei in una situazione piuttosto complicata. Il disco sul parabrezza non conta più nulla una volta scaduto - quello che importa è se la tassa di circolazione del tuo veicolo è effettivamente valida. Quindi se la tassa è scaduta il mese scorso e non l'hai ancora rinnovata, tecnicamente stai guidando un veicolo non tassato, che è un'infrazione. Non c'è un vero e proprio periodo di tolleranza di cui sia a conoscenza, quindi se ti fermano, potrebbero assolutamente farti una multa. La DVLA la prende molto seriamente perché è collegata all'assicurazione e alla revisione.
La buona notizia è che puoi risolvere tutto piuttosto velocemente online, e una volta fatto puoi retrodatare la tassa per coprire il periodo in cui non eri tassato (penso che sia solitamente fino a un certo punto, ma non mi citare sulla tempistica esatta). La multa per guida senza tassa valida può essere sostanziosa, quindi mi darei da fare non appena arriva il rinnovo dell'assicurazione. Nel frattempo, sinceramente, cerca di ridurre il più possibile i giri in macchina - so che non è sempre pratico, ma riduce le possibilità di essere fermato.
Una volta rinnovato tutto, stacca il vecchio disco e metti quello nuovo. Assicurati solo che l'assicurazione sia effettivamente attiva prima di guidare da qualsiasi parte, perché è un'altra infrazione se ti beccano senza nemmeno quella.