Hai già controllato se il firmware della stampante è aggiornato? Perché spesso i problemi di disconnessione wifi nelle Brother sono legati proprio a bug risolti nelle versioni più recenti.
Quello che non hanno menzionato gli altri è che il modulo wifi della MFC-L8360CDW a volte entra in una sorta di loop di instabilità quando la connessione iniziale è debole. Non è solo lo sleep mode, è che una volta instaurata male la connessione, la stampante continua a cercare di riconnettersi ogni volta che completa un lavoro. La cosa che funziona meglio è fare un "factory reset" delle impostazioni di rete (non della stampante intera, basta dal menu network) e poi riconfigurare il wifi da zero con la stampante letteralmente accanto al router.
Inoltre, controlla nei log della stampante se ci sono errori di autenticazione - accedi al pannello web della stampante (trova l'IP dal menu di rete) e guarda la sezione "Event Log" o "System Log". Se vedi messaggi tipo "authentication failed" ripetuti, il problema è che il wifi sta richiedendo l'accesso ogni volta, il che significa che le credenziali non vengono salvate correttamente. In quel caso è utile disabilitare temporaneamente qualsiasi filtro MAC sul router e rifare la connessione.