Vai no dashboard do Vercel, abre o projeto, vai em Settings > Environment Variables e cola lá as chaves que tu usas no .env.local. Cria uma variável pra cada uma (API_URL, API_KEY, o que precisar) e marca em qual ambiente cada uma funciona - Development, Preview, Production, ou os três. Depois disso quando o Vercel faz o build, ele injeta essas variáveis no processo e a aplicação consegue acessar via `process.env.NOME_DA_VARIAVEL`.
Agora, o ponto que galera frequentemente esquece: se tu tá usando variáveis que só podem ser acessadas no servidor (tipo database passwords ou API keys secretas), tu precisa prefixar com `NEXT_PUBLIC_` só aquelas que vão pro client-side. Tudo que não tem esse prefixo fica seguro no servidor durante o build. Se colocar uma chave sensível com `NEXT_PUBLIC_`, ela vaza pro JavaScript que o navegador baixa - aí não é mais seguro. Então cuidado com essa convenção, porque é fácil errar.
Uma dica útil também é copiar a estrutura do seu .env.local num arquivo chamado .env.example (ou .env.local.example), remove os valores reais, e commita isso no Git. Assim quem for trabalhar no projeto sabe exatamente quais variáveis precisa configurar tanto localmente quanto no Vercel.