Ни в коем случае не стирай их в стиральной машине и не используй отбеливатель - это разрушает материалы и подошва становится хрупкой. Слишком горячая вода тоже не подходит.
Что действительно помогает: чистить белые кроссовки смесью из теплой воды, пары капель средства для мытья посуды и мягкой щетки (подойдет старая зубная щетка, но щетка для обуви лучше). Одна зубная щетка не дает достаточной мощности. Важно двигать щетку круговыми движениями, а не просто скользить по поверхности. Для стойких пятен можно попробовать ластик - звучит странно, но на холсте и коже работает удивительно хорошо. Пищевая сода, смешанная с водой, тоже дает хорошую пасту для белых участков.
После чистки промой чистой водой и дай высохнуть на воздухе - не на солнце, иначе посветлеют. Набей кроссовки белой бумагой, чтобы они сохранили форму. Если кроссовки регулярно становятся серыми, просто чисти их чаще, пока грязь не въелась. Некоторые люди клянутся специальными защитными спреями для обуви, но если честно, хорошей чистки более чем достаточно.