К сожалению, боковой прокол - это действительно одна из самых серьёзных травм для шины. Дело в том, что боковины (боковые части покрышки) работают совсем не так, как протектор. На протекторе давление распределяется равномерно, и заплату там держат волокна ткани, которые не повреждены при боковом проколе. А боковина - это тонкий слой резины без усилений, которые есть в центральной части. Когда там пробивается отверстие, нет смысла его заклеивать, потому что место будет выдавливаться от давления воздуха изнутри. Это просто вопрос времени, когда латка отлетит.
Проверить диагностику несложно: внимательно посмотри на место прокола. Если он на боковине (по бокам покрышки, где она изгибается) - то мастеры правы, спасать нечего. Если же дырка на протекторе (верхняя часть, где рисунок), то её можно заклеить вулканизацией. Боковой прокол радиусом больше, скажем, пару миллиметров - тем более не латают. Это не попытка заработать, а просто физика: отремонтированная боковина не выдержит нагрузку на скорости и не спасёт тебя на дороге.
Новая шина - это не переплата в таком случае, а сама собой необходимость. На машину с одной старой потёртой шиной и тремя нормальными можно ездить недолго, и это опасно. Если бюджет поджимает, ищи шины подешевле или ездившие, но в хорошем состоянии.