Ve al dashboard de Vercel, abre el proyecto, ve a Settings > Environment Variables y pega ahí las claves que usas en .env.local. Crea una variable para cada una (API_URL, API_KEY, lo que necesites) y marca en cuál ambiente funciona cada una - Development, Preview, Production, o los tres. Después de eso cuando Vercel hace el build, inyecta esas variables en el proceso y la aplicación puede acceder a través de `process.env.NOMBRE_DE_LA_VARIABLE`.
Ahora, el punto que la gente frecuentemente se olvida: si estás usando variables que solo pueden ser accedidas en el servidor (como database passwords o API keys secretas), necesitas prefijado con `NEXT_PUBLIC_` solo aquellas que van al client-side. Todo lo que no tiene ese prefijo se queda seguro en el servidor durante el build. Si pones una clave sensible con `NEXT_PUBLIC_`, se filtra al JavaScript que el navegador descarga - ahí ya no es más seguro. Entonces cuidado con esa convención, porque es fácil equivocarse.
Un consejo útil también es copiar la estructura de tu .env.local en un archivo llamado .env.example (o .env.local.example), quita los valores reales, y commitea eso en Git. Así quien vaya a trabajar en el proyecto sabe exactamente qué variables necesita configurar tanto localmente como en Vercel.