Tengo uno de esos bichitos en casa y pasé por exactamente lo mismo cuando lo traje. Al principio me preocupé porque el pelaje se veía pegajoso después de cada baño, pero investigué un poco y resultó que eso es totalmente normal. Las chinchillas tienen una densidad de pelo increíble - como 60 pelos por folículo o algo así - y cuando se bañan en arena, toda esa cantidad de pelaje atrapa partículas que pueden dejar una sensación húmeda y apelmazada si la arena tiene algo de humedad residual.
Lo que importa es que la arena esté lo más seca posible. Yo guardo la mía en un frasco cerrado para que no absorba humedad del ambiente, y eso ayuda bastante. Aun así, es normal que después del baño el pelaje se vea un poco oscuro o compacto mientras se seca. Déjalo en un lugar sin corrientes de aire frío y verás cómo en pocas horas el pelaje se suelta y vuelve a verse esponjoso. Si además de estar pegajoso ves que tu chinchila se rasca mucho, tiene caspa o el olor es fuerte, ahí sí podrías revisar si la arena tiene hongos o si hay problema de humedad en la jaula. Pero si es solo esa sensación pegajosa temporal después del baño, no te preocupes.