No te apresures a reinstalar WhatsApp ni a resetear la contraseña sin antes revisar las cosas simples. Lo que estás experimentando pasa frecuentemente cuando el navegador borra las cookies o la caché entre una sesión y otra. WhatsApp Web se basa en estos datos para recordar que eres tú, así que si el navegador está configurado para limpiarlos automáticamente (cosa común en las configuraciones de privacidad), cada vez que cierras el navegador te encuentras como nuevo usuario y vuelta a empezar con la verificación.
Ve a las configuraciones de tu navegador y revisa si activaste la opción que borra cookies y datos del sitio cuando cierras el navegador. Si es así, desactívala para el dominio de WhatsApp Web u crea una excepción. En Chrome puedes hacerlo desde Configuración > Privacidad y seguridad > Borrar datos al cerrar; en Firefox es similar. Si usas una ventana de incógnito o modo privado cada vez, cambia a una ventana normal. Si realmente te gusta el incógnito, agrega WhatsApp Web a las excepciones.
Otra cosa: verifica que tu número de teléfono no esté conectado simultáneamente a WhatsApp Web desde otros dispositivos o navegadores. Si alguien tiene acceso a tu cuenta, WhatsApp pide una verificación adicional por seguridad. Echa un vistazo a las sesiones activas en la configuración de WhatsApp en tu teléfono y desconecta las que no reconozcas.