Va dans le dashboard de Vercel, ouvre le projet, va dans Settings > Environment Variables et colle tes clés que tu utilises dans .env.local. Crée une variable pour chacune (API_URL, API_KEY, ce qu'il faut) et marque dans quel environnement chacune fonctionne - Development, Preview, Production, ou les trois. Après ça quand Vercel fait le build, il injecte ces variables dans le processus et l'application peut y accéder via `process.env.NOM_DE_LA_VARIABLE`.
Maintenant, le point que les gens oublient souvent : si tu utilises des variables qui peuvent seulement être accédées sur le serveur (genre des mots de passe de base de données ou des clés API secrètes), tu dois prefixer avec `NEXT_PUBLIC_` seulement celles qui vont du côté client. Tout ce qui n'a pas ce préfixe reste sécurisé sur le serveur pendant le build. Si tu mets une clé sensible avec `NEXT_PUBLIC_`, elle s'expose dans le JavaScript que le navigateur télécharge - là ce n'est plus sécurisé. Donc attention à cette convention, parce qu'il est facile de se tromper.
Un conseil utile aussi c'est de copier la structure de ton .env.local dans un fichier appelé .env.example (ou .env.local.example), tu enlèves les vraies valeurs, et tu commit ça sur Git. Comme ça celui qui va travailler sur le projet sait exactement quelles variables il faut configurer tant localement que sur Vercel.