Non buttarti a reinstallare WhatsApp o a resettar password senza prima controllare le cose semplici. Quello che stai vivendo succede spesso quando il browser cancella i cookie o la cache tra una sessione e l'altra. WhatsApp Web si appoggia a questi dati per ricordare che sei tu, quindi se il browser è impostato per pulirli automaticamente (cosa comune nelle impostazioni di privacy), ogni volta che chiudi il browser ti ritrovi come nuovo utente e via di nuovo con la verifica.
Vai nelle impostazioni del tuo browser e controlla se hai attivato l'opzione che cancella cookie e dati di sito quando chiudi il browser. Se sì, disattivala per il dominio di WhatsApp Web oppure crea un'eccezione. In Chrome puoi farlo da Impostazioni > Privacy e sicurezza > Cancella dati alla chiusura; in Firefox è simile. Se usi una finestra in incognito o modalità privata ogni volta, passa a una finestra normale. Se proprio ti piace l'incognito, aggiungi WhatsApp Web alle eccezioni.
Un'altra cosa: verifica che il tuo numero di telefono non sia loggato contemporaneamente su WhatsApp Web da altri dispositivi o browser. Se qualcuno ha accesso al tuo account, WhatsApp chiede una verifica in più per sicurezza. Dai un'occhiata alle sessioni attive nelle impostazioni di WhatsApp sul telefono e disconnetti quelle che non riconosci.