Não saia reinstalando o WhatsApp ou resetando a senha sem antes checar as coisas simples. O que você está vivendo acontece frequentemente quando o navegador limpa os cookies ou o cache entre uma sessão e outra. WhatsApp Web se apoia nesses dados para lembrar que é você, então se o navegador está configurado para limpá-los automaticamente (coisa comum nas configurações de privacidade), toda vez que você fecha o navegador se vê como novo usuário e aí vai de novo com a verificação.
Vá nas configurações do seu navegador e verifique se você ativou a opção que limpa cookies e dados de site quando fecha o navegador. Se ativou, desativa para o domínio do WhatsApp Web ou cria uma exceção. No Chrome você consegue fazer isso por Configurações > Privacidade e segurança > Limpar dados ao sair; no Firefox é parecido. Se você usa uma janela incógnita ou modo privado toda vez, passa para uma janela normal. Se você realmente gosta da incógnita, adiciona o WhatsApp Web às exceções.
Outra coisa: verifica que seu número de telefone não está logado ao mesmo tempo no WhatsApp Web de outros dispositivos ou navegadores. Se alguém tem acesso à sua conta, WhatsApp pede uma verificação a mais por segurança. Dá uma olhada nas sessões ativas nas configurações do WhatsApp no celular e desconecta aquelas que você não reconhece.