A realidade é que a qualidade não depende tanto de ser pública ou privada, mas da reputação específica de cada curso em cada universidade. Conheço gente que estudou engenharia em uma pública bastante conhecida e saiu com excelente formação, enquanto outros em privadas caras terminaram decepcionados porque o curso não era o que esperavam. O que é verdade é que nas públicas o acesso é mais disputado (você precisa de notas altas e passar em provas de admissão), mas o custo é muito menor, enquanto as privadas são mais acessíveis em termos de entrada, mas cobram caro no bolso a cada semestre.
Meu conselho é que você investigue bem quais universidades têm boa reputação no curso que te interessa, independente de ser pública ou privada. Converse com gente que já estudou lá, veja onde trabalham seus egressos, o que dizem sobre a experiência. Às vezes a melhor opção é uma pública com prestígio na sua área, às vezes uma privada menor mas com programas sólidos. Não se deixe levar só pelo que seus pais dizem, porque cada instituição é um mundo diferente.