Die gute Nachricht: helle Wasserflecken bei Eiche sind oft gar nicht so dramatisch, wie sie aussehen. Das Holz ist normalerweise nur oberflächlich aufgequollen, nicht wirklich beschädigt. Schleifen ist da wirklich die letzte Option und würde ich erst in Betracht ziehen, wenn gar nichts hilft.
Fang mit dem Bügeleisen-Trick an, aber mach das wirklich vorsichtig - bei zu viel Hitze können sich die Flecken eher verschlimmern oder sogar das Holz verfärben. Lege ein feuchtes (nicht nasses!) Baumwolltuch auf die Stelle, dann mit dem Bügel auf niedriger Stufe drüber. Das hilft oft, die Feuchtigkeit wieder rauszubekommen und das Holz zu entspannen. Wenn das nicht funktioniert, dann einer der Tipps mit Essig oder Zahnpasta - wichtig ist nur, dass du danach sofort alles mit einem trockenen Tuch abwischst und nicht herumwischst wie wild. Bei Eichenparkett können übrigens auch leichte Kratzer beim zu aggressiven Reiben zum Problem werden.
Gib der Sache vielleicht zwei, drei Tage Zeit - manchmal verschwinden die Flecken auch einfach von allein, wenn die Feuchtigkeit aus dem Holz entweicht. Falls da dann immer noch was sichtbar ist, könntest du auch mal mit einem Parkettöl (speziell für Eiche) nachbearbeiten, das kann manchmal kleine Verfärbungen optisch ausgleichen.