El moho en los tomates siempre es un problema de humedad, así que la nevera puede ser el peor lugar para guardarlos, especialmente si ya está húmeda de por sí. Yo tuve una experiencia parecida: metía tomates maduros en la nevera y al cabo de un par de días ya estaban llenos de moho. Después me di cuenta de que era culpa del condensador que se acumula en espacios cerrados.
Se ponen blandos normalmente porque o bien estaban demasiado maduros desde el principio, o bien los lavaron antes de guardarlos (el agua se filtra a través de la piel y los tomates empiezan a pudrirse por dentro). Yo empecé a guardar los tomates maduros a temperatura ambiente en un bol abierto en la cocina, lejos de la luz directa del sol - así duran mucho más. Si los tomates todavía están un poco verdes, puedes meterlos en un lugar oscuro y seco (un armario, una despensa). Pero si ya están bien maduros de más y necesitas comerlos urgentemente - entonces sí, la nevera, pero solo en un recipiente aparte o en una bolsa de plástico con agujeros para que circule el aire, para que no haya contacto directo con la humedad de otros productos.
La regla de oro que realmente funciona: no lavarlos antes de guardarlos (solo antes de comer), no meterlos todos juntos en recipientes cerrados y mantenerlos de forma que circule aire a su alrededor. Si los tomates se tocan unos con otros - se pudren más rápido, así que es mejor ponerlos en una sola capa.