Lo más directo es usar vinagre blanco en el último enjuague del lavavajillas o echarlo directamente en un recipiente dentro de la máquina. Esas manchas son depósitos de minerales, principalmente calcio y magnesio, que se quedan cuando el agua se evapora. Tu amigo tiene razón con lo de la dureza del agua: significa que tu agua tiene muchos minerales disueltos, lo cual es súper común en la mayoría de lugares. No es malo para la salud, pero sí deja eso pegajoso en vidrio y acero.
El vinagre funciona porque es ácido y disuelve esos minerales sin que tengas que gastar en equipos caros. Prueba primero llenando una taza de vinagre blanco y poniéndola en el estante superior del lavavajillas durante un ciclo normal sin platos, o si prefieres algo menos fuerte, echa media taza en la sección de aditivo de enjuague. También podés limpiar manualmente los vasos con un trapo mojado en vinagre después de lavarlos si querés resultados más rápidos mientras tanto.
Otra opción barata es usar limón o ácido cítrico que venden en paquetes pequeños, funcionan igual de bien que el vinagre. Si al final decidís invertir en algo más permanente, los descalcificadores de agua no siempre necesitan ser instalaciones complicadas: hay cartuchos de filtro relativamente económicos para el grifo o sistemas pequeños que se conectan fácil. Pero honestamente, el vinagre resuelve el problema a fracción del costo.