Tus posibilidades dependen mucho del estado en que estaba realmente el árbol antes de caerse. La mayoría de las jurisdicciones no responsabilizarán a alguien solo porque un árbol se haya caído durante una tormenta - eso se considera un acto de la naturaleza y tú tienes que pagar la factura. Pero la verdadera pregunta es si tu vecino tenía razones para saber que el árbol era peligroso. Si había signos visibles de enfermedad, ramas muertas colgando sobre tu propiedad, o si el árbol estaba inclinado de manera preocupante, eso cambia las cosas. Necesitarías prueba de que el árbol representaba un peligro obvio que una persona razonable debería haber notado.
Documenta todo ahora mismo si no lo has hecho ya - toma fotos del daño y de lo que queda del árbol, incluyendo cualquier signo de pudrición, enfermedad o problemas estructurales. Comprueba si tu vecino alguna vez hizo que un arbolista lo revisara, o si tienes alguna comunicación donde él mencionó preocupaciones acerca del árbol. Algunas pólizas de seguros de propietarios cubrirán daños causados por árboles durante tormentas sin asignar culpa, así que primero revisa la tuya. Si quieres perseguir esto más adelante, podrías consultar a un abogado de propiedad local que te pueda decir qué considera tu jurisdicción específica como "negligencia" cuando se trata de responsabilidad por árboles - los estándares varían bastante dependiendo de dónde vivas.