Fiz exatamente isso uns dois anos atrás quando encontrei um banco oferecendo taxas de poupança muito melhores. O processo é bem direto, mas o timing importa. Você vai querer abrir a nova conta primeiro e deixá-la totalmente configurada antes de mexer em nada no seu banco antigo. Uma vez que você tenha o número de roteamento e número da conta do novo lugar, pode atualizar seu depósito direto no sistema de folha de pagamento do seu empregador você mesma - sem necessidade de chamar RH ou nada disso. A maioria dos portais de folha de pagamento deixa você fazer isso online, e se o seu não deixa, um e-mail rápido para quem cuida da folha de pagamento funciona bem.
O cronograma geralmente é tranquilo. Atualizei o meu numa quarta à tarde, e meu próximo salário caiu na conta nova certinho duas semanas depois. Às vezes há um atraso se você pegar um ciclo de pagamento que já foi processado, então o ideal é atualizar alguns dias antes do corte de folha se conseguir. Não feche sua conta antiga imediatamente - deixe aberta por pelo menos um mês após o primeiro depósito cair no novo lugar, só por segurança caso algo dê errado e você precise resolver. Depois que confirmei que tudo estava funcionando, deixei aquela conta antiga ativa por mais duas semanas antes de fechar.
Uma coisa que fico feliz de ter feito foi testar com um salário menor primeiro se possível, ou pelo menos verificar se o depósito chegou antes do salário maior chegar. Isso me deu tranquilidade. O processo inteiro foi muito menos estressante do que achei que seria.