Por ser um apartamento alugado, sua primeira obrigação é avisar o proprietário ou a imobiliária o quanto antes, mesmo que seja por email, para que fique registrado quando o problema começou. Isso é crucial porque se não comunicar agora, depois podem culpá-la de negligência se a coisa piorar. Mesmo parecendo um gotejamento sem importância, o que muita gente não vê é que por trás dessas manchas pode haver infiltrações entre camadas que degradam a estrutura sem você ver de dentro, e isso é responsabilidade do proprietário consertar.
Enquanto espera que se mexam, tente identificar de onde vem a água com exatidão: se a mancha está exatamente embaixo de um cano, um radiador ou perto de onde duas paredes se encontram, a origem pode ser muito diferente de um vazamento de telhado. Tubulações estouradas ou com vazamentos são muito mais perigosas que uma calha entupida porque deterioram tudo muito mais rápido. Coloque um balde ou uma bandeja embaixo da zona de gotejamento para coletar água e tire fotos de exatamente onde cai, porque quando vier o técnico vai precisar dessa informação.
O que quase ninguém menciona é que o proprietário tem um prazo legal para consertar (normalmente entre uma e duas semanas dependendo do seu estado), então não deixe ele dizer "já resolvo quando acabar a época de chuvas". Insista que é um reparo urgente porque afeta a habitabilidade. Enquanto isso, não tente selar nada você mesma nem use adesivos, porque isso pode complicar o diagnóstico posterior e vai custar dinheiro do seu depósito.