Você já checou se o firmware da impressora está atualizado? Porque frequentemente os problemas de desconexão wifi nas Brother estão relacionados justamente a bugs resolvidos nas versões mais recentes.
O que os outros não mencionaram é que o módulo wifi da MFC-L8360CDW às vezes entra em uma espécie de loop de instabilidade quando a conexão inicial é fraca. Não é só o modo sleep, é que uma vez estabelecida a conexão de forma ruim, a impressora continua tentando se reconectar toda vez que termina um trabalho. O que funciona melhor é fazer um "factory reset" das configurações de rede (não da impressora inteira, só pelo menu network) e depois reconfigurar o wifi do zero com a impressora literalmente ao lado do roteador.
Além disso, verifique nos logs da impressora se há erros de autenticação - acesse o painel web da impressora (encontre o IP no menu de rede) e veja a seção "Event Log" ou "System Log". Se você ver mensagens como "authentication failed" repetidas, o problema é que o wifi está pedindo acesso toda vez, o que significa que as credenciais não estão sendo salvas corretamente. Nesse caso é útil desabilitar temporariamente qualquer filtro MAC no roteador e refazer a conexão.