Suas chances dependem muito da condição em que aquela árvore realmente estava antes de cair. Na maioria das jurisdições, ninguém é responsabilizado só porque uma árvore caiu durante uma tempestade - isso é considerado um ato da natureza e você fica com a conta. Mas a questão real é se seu vizinho tinha razão para saber que a árvore era perigosa. Se havia sinais visíveis de doença, galhos mortos pendurados sobre sua propriedade, ou se a árvore estava inclinada de forma perigosa, aí as coisas mudam. Você precisaria de provas de que a árvore representava um perigo óbvio que uma pessoa razoável deveria ter notado.
Documente tudo agora mesmo se ainda não fez - tire fotos do estrago e do que restou da árvore, incluindo qualquer sinal de apodrecimento, doença ou problemas estruturais. Verifique se seu vizinho já chamou um arborista para olhar, ou se tem alguma comunicação em que ele mencionou preocupações sobre a árvore. Algumas apólices de seguro residencial cobrem danos de árvores em tempestades sem atribuir culpa, então verifique a sua primeiro. Se quiser prosseguir com isso, pode consultar um advogado de direito imobiliário local que consiga te dizer o que sua jurisdição específica considera "negligência" quando se trata de responsabilidade por árvore - os padrões variam bastante dependendo de onde você mora.