Antes de nada, intenta arrancar el auto con los cables de otro carro conectados directamente a la batería durante unos minutos y luego enciéndelo. Si arranca de esa forma, el problema es casi seguro la batería descargada, y necesitás una nueva o al menos cargarla completamente.
Ahora, si eso no funciona o el auto se apaga poco después de arrancar, definitivamente tenés que revisar el alternador. Me pasó algo parecido con mi auto hace unos años: todo parecía apuntar a la batería, los bornes estaban limpios igual que en tu caso, pero cuando la llevé al mecánico resultó que el alternador había dejado de cargar. El alternador es lo que mantiene la batería cargada mientras el motor funciona, así que si falla, la batería se agota rápidamente aunque esté en buen estado. Con un multímetro podés verificar: si la batería marca entre 12.6 y 12.8 voltios cuando el auto está apagado, está bien; pero si está por debajo de 12 voltios, está descargada. Lo importante es que también revises el voltaje cuando el motor está encendido, debe subir a unos 13.5 a 14.5 voltios. Si no sube, el alternador no está haciendo su trabajo.
Otra cosa a descartar es que los cables de la batería, aunque los bornes se vean limpios, podrían estar corroídos por dentro o flojos. A veces la corrosión está dentro del mismo cable y no se ve por afuera. Igual, lo más probable es que empieces por probar con los cables de otro auto, porque eso te dá una respuesta rápida y sin gastar nada.