¿Ya revisaste si hay algún ruido raro en el motor cuando arranca, como un chirrido? Porque además de lo que te dijeron sobre los voltios (que tienen toda la razón en que 13V es muy bajo), hay otro culpable bastante común que la gente se olvida: la correa del alternador puede estar gastada o floja, y aunque el alternador esté bien, no gira lo suficiente como para cargar. Si la correa está rota o muy suelta, el alternador no funciona, y tu batería se descarga aunque técnicamente esté enchufado.
Lo que podés hacer antes de gastar en un alternador nuevo es revisar visualmente esa correa (abre el capó, mirá la parte frontal del motor) y fijate si tiene grietas, está deshilachada o se ve muy sucia. Si está floja, probablemente veas que se mueve un montón cuando tocás con cuidado. También podés pedirle a alguien que arranque el motor mientras vos mirás si la correa está girando parejo sin saltar. La correa es mucho más barata que cambiar el alternador entero 🚗
Si la correa se ve normal, ahí sí es probable que sea el alternador mismo. Pero al menos así descartas algo que es relativamente fácil de revisar primero.