Essaie de démarrer la voiture avec les câbles d'une autre auto connectés directement à la batterie pendant quelques minutes, puis démarre-la. Si elle démarre comme ça, le problème est presque sûrement la batterie déchargée, et tu as besoin d'une nouvelle ou au moins de la charger complètement.
Maintenant, si ça ne fonctionne pas ou que la voiture s'éteint peu après le démarrage, tu dois définitivement vérifier l'alternateur. Il m'est arrivé quelque chose de similaire avec ma voiture il y a quelques années : tout semblait pointer vers la batterie, les bornes étaient propres tout comme dans ton cas, mais quand je l'ai apportée au mécanicien, il s'est avéré que l'alternateur avait cessé de charger. L'alternateur est ce qui maintient la batterie chargée pendant que le moteur fonctionne, donc s'il défaille, la batterie s'épuise rapidement même si elle est en bon état. Avec un multimètre tu peux vérifier : si la batterie affiche entre 12,6 et 12,8 volts quand la voiture est éteinte, c'est bon ; mais si c'est en dessous de 12 volts, elle est déchargée. L'important c'est que tu vérifies aussi la tension quand le moteur est en marche, elle doit monter à environ 13,5 à 14,5 volts. Si elle ne monte pas, l'alternateur ne fait pas son travail.
Une autre chose à écarter c'est que les câbles de la batterie, même si les bornes paraissent propres, pourraient être corrodés à l'intérieur ou mal serrés. Parfois la corrosion est à l'intérieur du câble même et on ne la voit pas de l'extérieur. De toute façon, le plus probable c'est que tu commences par essayer avec les câbles d'une autre auto, parce que ça te donne une réponse rapide et sans rien dépenser.