As-tu déjà vérifié s'il y a un bruit bizarre dans le moteur au démarrage, comme un grincement ? Parce qu'en plus de ce qu'on t'a dit sur les volts (et c'est vrai que 13V c'est très bas), il y a un autre coupable assez courant que les gens oublient : la courroie de l'alternateur peut être usée ou mal tendue, et même si l'alternateur fonctionne bien, il ne tourne pas assez pour charger. Si la courroie est cassée ou très mal tendue, l'alternateur ne fonctionne pas, et ta batterie se décharge même si techniquement il est branché.
Ce que tu peux faire avant de dépenser pour un nouvel alternateur, c'est vérifier visuellement cette courroie (ouvre le capot, regarde l'avant du moteur) et fais attention si elle a des fissures, si elle s'effiloche ou si elle paraît très sale. Si elle est mal tendue, tu verras probablement qu'elle bouge beaucoup quand tu la touches avec précaution. Tu peux aussi demander à quelqu'un de démarrer le moteur pendant que tu regardes si la courroie tourne régulièrement sans sauter. La courroie coûte beaucoup moins cher que de changer l'alternateur entier 🚗
Si la courroie paraît normale, là c'est probablement l'alternateur lui-même. Mais au moins tu auras écarté quelque chose qui est relativement facile à vérifier en premier.