Fondamentalmente sì, il documento privato funziona, ma c'è un dettaglio importante che parecchi stanno trascurando. La carta che avete fatto voi due è valida legalmente, ma questo non significa che sia sufficiente per tutto. Quando andrete al registro automotoristico a cambiare i documenti del veicolo, loro controlleranno che sia firmato bene, che abbia i dati corretti di entrambi, la targa, il numero di telaio... tutto quanto. Se l'avete fatto con cura e tutto è chiaro, probabilmente ve lo accettano senza problemi. Ora, il punto è che se qualcosa va storto dopo (un reclamo, un problema con il finanziamento, quello che sia), un documento privato tra due amici è molto più debole di uno fatto davanti a notaio. Non sto dicendo che sia successo qualcosa di strano, ma legalmente parlando, senza notaio c'è meno protezione per qualunque vi sia coinvolto.
Il mio consiglio realistico è che verifichiate direttamente presso la Direzione Generale del Traffico della vostra provincia o al registro automotoristico locale, perché anche se nella maggior parte dei posti accettano il documento privato, alcuni chiedono cose più specifiche. Alcuni registri vi dicono che portiate il foglio così e basta, altri vi chiedono che lo facciano autenticare, altri vi chiedono un modello di contratto specifico. È mezza ora di telefonata e vi togliete i dubbi. Se per qualche ragione il registro dice che non gli va bene, allora sì dovete andare in notaio, ma quasi di sicuro ve lo accettano. L'importante è che il documento sia ben fatto: nomi completi, documenti di identità, targa e numero di telaio corretti, importo, data e le due firme chiare.