Sua avó tá certa em parte, mas não é bem assim tão simples. Gengibre com mel realmente tem propriedades que ajudam a aliviar tosse, só que não funciona como um xarope de verdade. O mel tem uma ação calmante na garganta e o gengibre tem propriedades anti-inflamatórias, então quando você toma quente mesmo, acalma bastante. Agora, "melhor que qualquer xarope" é meio exagero. Funciona bem pra irritação simples e tosse seca, mas se sua tosse tá durando uma semana, talvez seja bom ver um médico pra descartar algo mais sério.
Eu mesma quando tô com tosse irritante faço isso em casa e realmente ajuda a melhorar o incômodo, especialmente à noite pra dormir melhor. A parada é que você precisa tomar quentinho mesmo, e idealmente não tomar logo depois algo muito frio. O gengibre fresco funciona bem melhor que em pó. A gente costuma aquecer água, raspa um pedaço de gengibre fresco, deixa uns minutinhos e depois coloca mel quando tá morno (não coloca em água fervendo que destrói as propriedades). Eu bebo sem filtrar mesmo, gengibre ralado flutuando e tudo.
Mas olha, uma semana é bastante tempo pra uma tosse. Se não melhorar em mais uns dias ou se piorar, vale a pena consultar pra ter certeza que não é nada mais chato. Às vezes é só irritação mesmo, mas é melhor verificar. No mais, tá liberado testar a receita da sua avó, o risco é zero e pelo menos alivia o incômodo enquanto melhora.