Tive uma experiência parecida - treinava numa garagem meio congelada e em um certo momento, em vez de simplesmente me trocar, resolvi "me enrijecer" e voltava pra casa em camiseta molhada. Resultado previsível: duas semanas no sofá. Depois percebi que o problema não era o frio em si, mas como a gente lida com ele.
Agora levo uma camada de roupa quente comigo e coloco logo depois do treino, enquanto ainda estou na sala - nada de ficar com a roupa molhada no ar frio. Toalha também não esqueço, pra secar o suor antes de trocar a camiseta. O principal é não deixar o corpo esfriar com a roupa molhada, isso não é enrijecimento, é tortura pro sistema imunológico. Se a sala tiver muito frio mesmo, dá pra nem se trocar durante o treino, mas logo depois - sem opção, só roupa seca.
Quanto à própria sala: 12-14 graus não é crítico pra treino em si, quando os músculos tão trabalhando você não vai ficar com frio. Se o resto da sala tá bom (equipamento, clima, conforto), não precisa trocar de lugar por causa da temperatura. Mas se a administração simplesmente esqueceu do aquecimento e promete consertar isso "um dia desses", é melhor não arriscar e procurar um lugar decente. Uma sala fria tá tranquilo, mas combinada com donos negligentes, não tem nada de bom pra esperar.