Grundsätzlich funktioniert das private Dokument ja, aber es gibt einen wichtigen Punkt, den mehrere übersehen. Das Papier, das ihr beide gemacht habt, ist rechtlich gültig, aber das bedeutet nicht, dass es für alles ausreicht. Wenn du zur Straßenverkehrsbehörde gehst, um die Fahrzeugpapiere zu ändern, werden die schauen, dass es ordentlich unterschrieben ist, dass die Daten von euch beiden stimmen, das Kennzeichen, die Fahrgestellnummer... alles. Wenn ihr das sorgfältig gemacht habt und alles klar ist, werden sie es euch wahrscheinlich ohne Probleme akzeptieren. Jetzt ist aber das Ding: Falls später was schiefgeht (eine Beschwerde, ein Problem mit der Finanzierung, was auch immer), dann ist ein privates Dokument zwischen zwei Kumpels viel schwächer als eins vor dem Notar. Ich will nicht sagen, dass da was Komisches passiert ist, aber rechtlich gesehen hast du ohne Notar weniger Schutz für jeden von euch.
Mein ehrlicher Rat ist, dass du direkt bei der Straßenverkehrsbehörde in eurer Provinz oder beim lokalen Fahrzeugregister nachfragst, denn obwohl die meisten Orte das private Dokument akzeptieren, verlangen manche spezifischere Sachen. Manche Register sagen dir, du sollst das Papier einfach so bringen und fertig, andere verlangen eine Beglaubigung, wieder andere wollen ein bestimmtes Vertragsformular. Das ist ne halbe Stunde telefonieren und dann weißt du Bescheid. Falls das Register aus irgendeinem Grund sagt, dass es ihnen nicht reicht, dann müsst ihr zur Notarin gehen, aber fast sicher werden sie es akzeptieren. Wichtig ist, dass das Dokument gut gemacht ist: vollständige Namen, Personalausweisnummern, Kennzeichen und Fahrgestellnummer korrekt, Geldbetrag, Datum und die beiden Unterschriften deutlich.