Als ich zum ersten Mal versucht habe, Gemüsesamen im Haus zu keimen, war mein größter Fehler, davon auszugehen, dass meine nach Süden ausgerichtete Fensterbank ausreichen würde - das war nicht der Fall. Die Sämlinge wurden dünn und schwach, weil sie sich zum Licht streckten. Wenn du anständige Ergebnisse haben willst, brauchst du wirklich zusätzliche Beleuchtung. Ein einfaches LED-Wachstumslicht oder sogar Werkstattleuchten mit kühlem Licht machen einen riesigen Unterschied. Halte sie etwa 5 - 8 cm über den Sämlingen und betreibe sie 14 - 16 Stunden täglich. Deine Fensterbank kann Teil der Einrichtung sein, sollte aber nicht deine einzige Lichtquelle sein, es sei denn, du befindest dich an einem extrem hellen Ort und kannst die Behälter ständig drehen.
Bei der Erde haben die bisherigen Antworten recht gehabt - Anzuchterde lohnt sich. Normale Blumenerde verdichtet sich zu leicht und speichert Feuchtigkeit auf eine Weise, die Umfallkrankheit einlädt, die deine Sämlinge schnell tötet. Die leichtere Textur ermöglicht es den Wurzeln auch, sich früher besser zu etablieren. Ich würde hinzufügen, dass du nichts Ausgefallenes brauchst; eine einfache Anzuchterde aus jedem Gartencenter funktioniert einwandfrei.
Neben diesen zwei Dingen solltest du beim Gießen konsequent sein. Halte die Erde feucht, aber nicht staunass - die Sämlinge hassen es, im Wasser zu stehen. Benutze eine Sprühflasche oder gieße von unten, wenn du kannst, anstatt von oben zu gießen und die zarten Pflanzen zu stören. Temperatur ist auch wichtig; die meisten Gemüsesamen keimen am besten bei etwa 18 - 24°C. Sobald sie gekeimt sind, kannst du die Temperatur um ein paar Grad senken, wenn nötig, was auch hilft, diese dünnen, schwachen Sämlinge zu verhindern.