Der andere hat es perfekt erklärt - Zeit ist hier eigentlich alles. Deine Oma hat nichts Verrücktes gemacht, sie hat einfach ein ganzes Huhn (oder einen großen Haufen Knochen mit etwas Fleisch dran) einfach stundenlang im Wasser ziehen lassen. Da passiert die Magie. Das Kollagen in den Knochen zerfällt und wird zu Gelatine, die dir diese seidige, reichhaltige Mundtextur gibt, die es tatsächlich nach *etwas* schmecken lässt, nicht nur nach heißem Wasser mit Hühnerteilen drin.
Hier ist, was ich machen würde: ein ganzes Huhn oder einen Haufen Knochen/Carcasse in einen großen Topf mit kaltem Wasser werfen, zum Kochen bringen, dann sofort runterschalten auf ein sanftes Köcheln. Den ekligen Schaum abschöpfen, der in den ersten paar Minuten nach oben steigt - das sind Unreinheiten und das macht einen Unterschied. Dann einfach... lass es für mindestens 2-3 Stunden in Ruhe. Wirf ein paar Karotten, Sellerie, Zwiebel rein (halbiert, muss nicht fancy sein), vielleicht etwas Knoblauch, ein paar Pfefferkörner, Salz. Mach nicht zu viel mit Gewürzen, weil du den eigentlichen Huhngeschmack schmecken willst. Wenn deine Oma old school war, hat sie vielleicht auch noch Pastinaken oder Petersilie reingemacht. Das lange Köcheln macht die ganze Geschmacksarbeit für dich.
Der Trick, den die meisten verpassen, ist, dass sie ungeduldig sind oder Hühnerbrust verwenden statt einen ganzen Vogel. Brüste sind zu mager - du brauchst Knochen, Haut und die ganze Situation, um diesen tiefen Geschmack zu kriegen. Sieb es auch ordentlich ab, wenn du fertig bist, und ehrlich gesagt, lass es über Nacht im Kühlschrank abkühlen, wenn du kannst. Das Fett gerinnt oben drauf und du kannst genau sehen, was du gemacht hast. Das ist das echte Ding. Deine Oma hat es wahrscheinlich auch am Vorabend gemacht, deshalb hat es so gut geschmeckt, als sie es nochmal aufgewärmt hat.