Básicamente sí funciona el documento privado, pero hay un matiz importante que varios se están dejando. El papel que hicisteis vosotros dos es válido legalmente, pero eso no significa que sea suficiente para todo. Cuando vayas al registro de tráfico a cambiar los papeles del vehículo, ellos van a mirar que esté bien firmado, que tenga los datos correctos de ambos, la matrícula, el bastidor... todo eso. Si lo hicisteis con cuidado y está todo claro, probablemente os lo acepten sin problemas. Ahora, el tema es que si algo sale mal después (una reclamación, un problema con la financiación, lo que sea), un documento privado entre dos colegas es muchísimo más débil que uno ante notario. No estoy diciendo que haya pasado algo raro, pero legalmente hablando, sin escribano hay menos protección para cualquiera de vosotros.
Mi consejo realista es que verifiques directamente en la Dirección General de Tráfico de vuestra provincia o en el registro automotor local, porque aunque en la mayoría de sitios aceptan el documento privado, algunos piden cosas más específicas. Algunos registros te dicen que les lleves el papel tal cual y listo, otros te piden que lo certifiquen, otros te piden un modelo de contrato específico. Es media hora de llamada y te quitas de dudas. Si por cualquier razón el registro dice que no les vale, ahí sí tenéis que ir a notaría, pero casi seguro que os lo aceptan. Lo importante es que el documento esté bien hecho: nombres completos, DNIs, matrícula y bastidor correctos, cantidad de dinero, fecha y las dos firmas claras.