Le problème ici, c'est que le mec essaie de contourner le système parce qu'il veut probablement éviter que son assurance se retourne contre lui (ce qui arrive quand il y a des réclamations). Mais ce n'est pas ton problème. Si tu as déclaré le sinistre à ton assureur, l'obligation légale, c'est à eux de gérer l'indemnisation. L'autre peut réclamer auprès de ton assureur, et voilà - c'est avec eux qu'il se dispute.
L'astuce pratique que personne n'a mentionnée : documente tout par écrit. S'il te pousse à payer directement, envoie-lui un email ou un SMS en disant clairement que tu as déjà déclaré le sinistre et que l'assureur en est responsable. Garde ça. S'il insiste, tu peux toujours montrer à la police qu'il a essayé de te forcer à faire un accord à l'amiable (ce qui est légalement douteux). De plus, si tu acceptes de tout payer de ta poche maintenant, après tu ne peux plus demander un remboursement à ton assureur - c'est tout ou rien.
La stratégie la plus sensée, c'est de recontacter ton assureur, de leur dire que l'autre te fait pression, et de leur demander un contact direct de la personne responsable ou un numéro de sinistre à donner au mec. Laisse-les lui expliquer comment ça marche. Il peut ne pas aimer, mais ce n'est pas ton problème - c'est lui que tu as frappé, tu as déjà prévenu.