Oui, c'est correct au début de la phrase, ne t'inquiète pas. Ce n'est pas quelque chose qui « se dit depuis toujours », c'est vraiment valide grammaticalement. D'ailleurs fonctionne comme adverbe de transition et peut se placer au début d'une phrase sans problème, peut-être suivi d'une virgule pour plus de clarté (« D'ailleurs, je ne viens pas à la fête »). Ta mère pense probablement que c'est trop informel ou que ça sonne mal, mais ça c'est une question de goût personnel, pas une règle.
Le truc, c'est que d'ailleurs a un sens un peu différent de cependant ou de mais. Cependant et mais introduisent une vrai opposition (« Il voulait venir, mais il est fatigué »), tandis que d'ailleurs signale plutôt une conclusion ou une continuité indépendamment de ce qui a été dit avant (« J'aimerais bien venir, d'ailleurs je préfère rester chez moi »). Ça marche bien dans des tons plus parlés et informels, ce que ta mère peut percevoir comme moins « correct », mais c'est correct quand même. C'est juste que les trois connecteurs ont des usages légèrement différents.