Quello che descrivi mi risulta abbastanza familiare perché l'ho visto in gente del mio entourage e la verità è che c'è un fattore che molti si lasciano sfuggire: la qualità del sonno non è la stessa cosa della quantità. Puoi stare dormendo quelle 8 ore ma se il tuo corpo non entra nelle fasi profonde del sonno, ti svegli lo stesso distrutto. Questo succede molto più spesso di quanto la gente pensi, soprattutto con cambiamenti di temperatura in camera, luce (anche minima), rumore di fondo che non riconosci consapevolmente ma il tuo cervello sta elaborando, o anche cambiamenti nella tua routine notturna.
Detto questo, sì, vai decisamente dal medico. Un mese così è tempo sufficiente per escludere cose tipo anemia, problemi di tiroide, carenza di vitamina D o anche depressione lieve, che spesso non viene accompagnata da tristezza ovvia ma solo da questo esaurimento che non scompare neanche dormendo. Lo stress cronico stanca anche ma in modo diverso, e nel tuo caso sembra qualcosa di più fisiologico che mentale.
Un trucco pratico che non vedo che abbiano menzionato: tieni un diario per una settimana annotando a che ora ti corichi, a che ora ti svegli davvero (non conta stare girandoti nel letto), come ti senti esattamente al risveglio (confuso?, bloccato?, con pressione al petto?), e cosa mangi a colazione. Portalo dal medico. I dottori capiscono molto meglio il quadro quando vedi i pattern rispetto a quando gli racconti solo "mi sento stanco". E nel frattempo, assicurati che la tua camera sia davvero al buio (se c'è luce dal cellulare, copri il router, quello che sia), che la temperatura sia fresca, e che non stia ingerendo caffeina dopo le 14 anche se ti sembra poco.