É isso, a outra pessoa acertou em cheio - o tempo é basicamente tudo aqui. Sua avó não estava fazendo nada de fancy, ela tava só deixando um frango inteiro (ou uma boa quantidade de ossos com um pouco de carne) simplesmente de molho em água por literalmente horas. É aí que a mágica acontece. O colágeno dos ossos se quebra e vira gelatina, o que dá aquele toque sedoso e rico na boca que faz você realmente sentir *algo*, não só água quente com pedaços de frango.
Aqui está o que eu faria: coloca um frango inteiro ou um monte de ossos/carcaça numa panela grande com água fria, traz ao fogo, aí já baixa pra um fogo bem baixo e suave. Tira aquela espuma grossa desagradável que sobe no começo - são impurezas e faz diferença. Aí você só... deixa quieto por tipo 2-3 horas no mínimo. Joga cenoura, salsão, cebola (cortada no meio, não precisa de nada fancy), talvez um pouco de alho, uns grãos de pimenta do reino, sal. Não exagera no tempero porque você quer sentir o gosto do frango de verdade. Se sua avó era old school ela talvez tenha colocado pastinaca ou salsa também. O cozimento longo faz todo o trabalho de sabor pra você.
O truque que a maioria das pessoas deixa passar é que elas são impacientes ou usam peito de frango em vez de um frango inteiro. Peito é muito magro - você precisa de ossos, pele e toda a situação pra conseguir aquele sabor profundo. E aí quando terminar, coa direito e honestamente, deixa esfriar na geladeira a noite toda se conseguir. A gordura congela em cima e você vê exatamente o que você fez. É a coisa real. Sua avó provavelmente também fazia na noite anterior, é por isso que ficava tão bom quando ela aquecia de novo.