O negócio é que depende mesmo do contexto. Primeiro, como você encontrou o cargo - pelo sistema de candidatura oficial do LinkedIn, ou viu no perfil de um recrutador? Porque se for um job posting de verdade com o botão "Candidatar-se", eu diria que usa esse sistema em primeiro lugar. Fica registrado, fica documentado, e o algoritmo do LinkedIn manda sua candidatura direto pro pipeline certo. Mandar uma mensagem direta pro recrutador ao mesmo tempo, por que não, mas tipo alguns dias depois de ter se candidatado, não antes - senão você corre o risco de parecer alguém que tá contornando o procedimento normal, e pode soar estranho.
Sobre a carta de apresentação, vou ser honesto: muitos recrutadores em empresas grandes scrollam rápido pelo CV primeiro, depois a cover letter. Mas - e isso é importante - se você enviar, que seja curta e incisiva, não 500 palavras de introdução genérica. Uma ou duas frases que mostrem que você conhece de verdade a empresa e por que esse cargo faz sentido pra você, isso muda o jogo. Se você usar o sistema de candidatura do LinkedIn, geralmente tem uma seção "mensagem de acompanhamento" - capricha nisso, é sua chance de se mostrar diferente dos outros candidatos que deixam em branco.
Você já identificou quem era o recrutador ou seu futuro gerente no LinkedIn, pra ver se tem pontos em comum que a gente pudesse aproveitar?