Você precisa enfrentar a situação e remover a tinta - ou no mínimo deixá-la bem áspera. Argamassa de assentamento ou adesivo pré-misturado não vão aderir de forma confiável a uma superfície pintada lisa, não importa o que qualquer um lhe diga. Tinta é uma barreira, e o adesivo para azulejo precisa grudar no substrato da parede em si, não em um revestimento liso por cima.
Aqui está o que realmente funciona: use um raspador de pintura ou lixadeira orbital para remover a tinta até a gesso acartonado ou gesso puro na área do backsplash. Você não precisa remover a tinta do banheiro todo - apenas dos 45 - 60 centímetros atrás de onde seus azulejos ficarão. Se a parede embaixo estiver danificada ou desintegrada, preencha esses pontos com massa para gesso acartonado ou gesso de reparo e deixe secar. Uma vez que tenha o substrato nu e ligeiramente áspero, argamassa de assentamento é sua melhor opção para um trabalho com azulejos. É mais forte que adesivo pré-misturado, não vai ceder tão facilmente em uma superfície vertical e dura mais.
Se remover a tinta realmente não for uma opção, seu único contorno semi-confiável é aplicar um primer de aderência na área pintada (algo projetado para superfícies lisas), deixar curar completamente e então usar um adesivo pré-misturado de qualidade indicado para aplicações verticais. Mas isso é honestamente um compromisso e mais provável de falhar no futuro. Gastar uma hora raspando a tinta adequadamente agora economiza um backsplash fracassado depois.