O mais direto é usar vinagre branco no último enxague da máquina de lavar louça ou colocá-lo direto num recipiente dentro dela. Essas manchas são depósitos de minerais, principalmente cálcio e magnésio, que ficam quando a água evapora. Seu amigo tem razão com a questão da dureza da água: significa que sua água tem muitos minerais dissolvidos, o que é super comum na maioria dos lugares. Não é ruim para a saúde, mas deixa aquele resíduo pegajoso no vidro e aço.
O vinagre funciona porque é ácido e dissolve esses minerais sem você precisar gastar em equipamentos caros. Tente primeiro enchendo uma xícara de vinagre branco e colocando-a na prateleira superior da máquina durante um ciclo normal sem pratos, ou se preferir algo menos forte, coloque meia xícara na seção de aditivo de enxague. Também dá pra limpar manualmente os copos com um pano molhado em vinagre depois de lavá-los se quiser resultados mais rápidos enquanto isso.
Outra opção barata é usar limão ou ácido cítrico que vendem em pacotinhos, funcionam tão bem quanto o vinagre. Se no final decidir investir em algo mais permanente, os descalcificadores de água nem sempre precisam ser instalações complicadas: tem cartuchos de filtro relativamente baratos para a torneira ou sistemas pequenos que se conectam fácil. Mas honestamente, o vinagre resolve o problema por uma fração do custo.