Você já verificou se há algum ruído estranho no motor quando arranca, como um chiado? Porque além do que te falaram sobre os volts (e eles têm toda a razão que 13V é muito baixo), há outro culpado bem comum que a galera esquece: a correia do alternador pode estar desgastada ou solta, e mesmo que o alternador esteja funcionando, não gira o suficiente para carregar. Se a correia está quebrada ou muito frouxa, o alternador não funciona, e sua bateria descarrega mesmo que tecnicamente esteja conectado.
O que você pode fazer antes de gastar com um alternador novo é revisar visualmente essa correia (abre o capô, olha a parte frontal do motor) e vê se tem rachaduras, está desfiada ou está muito suja. Se está solta, você provavelmente vai ver que se move bastante quando toca com cuidado. Também pode pedir para alguém dar a partida no motor enquanto você olha se a correia está girando direito sem pular. A correia é muito mais barata do que trocar o alternador inteiro 🚗
Se a correia se vê normal, aí sim é provável que seja o próprio alternador. Mas pelo menos assim você descarta algo que é relativamente fácil de revisar primeiro.