Tenta dar a partida no carro com os cabos de outro carro conectados direto na bateria durante uns minutos e depois liga-o. Se pegar dessa forma, o problema é quase certeza bateria descarregada, e você precisa de uma nova ou pelo menos carregá-la completamente.
Agora, se isso não funcionar ou o carro desligar pouco depois de pegar, você definitivamente tem que revisar o alternador. Aconteceu algo parecido comigo há uns anos: tudo parecia apontar pra bateria, os terminais estavam limpos igual ao seu caso, mas quando levei ao mecânico descobri que o alternador tinha parado de carregar. O alternador é o que mantém a bateria carregada enquanto o motor funciona, então se falhar, a bateria se esgota rápido mesmo que esteja em bom estado. Com um multímetro você consegue verificar: se a bateria marca entre 12,6 e 12,8 volts quando o carro está desligado, tá bem; mas se tá abaixo de 12 volts, tá descarregada. O importante é que você também revise a voltagem quando o motor está ligado, deve subir pra uns 13,5 a 14,5 volts. Se não subir, o alternador não tá fazendo o trabalho dele.
Outra coisa a descartar é que os cabos da bateria, mesmo que os terminais pareçam limpos, poderiam estar corroídos por dentro ou soltos. Às vezes a corrosão tá dentro do próprio cabo e não se vê por fora. Mesmo assim, o mais provável é que você comece testando com os cabos de outro carro, porque isso te dá uma resposta rápida e sem gastar nada.