Ты уже проверил, обновлён ли прошивка принтера? Потому что часто проблемы с отключением вайфая на Brother связаны именно с багами, которые исправляют в новых версиях.
То, что другие не упомянули - это то, что модуль вайфая в MFC-L8360CDW иногда входит в какой-то цикл нестабильности, когда первоначальное подключение слабое. Это не только режим ожидания, просто когда подключение установлено плохо, принтер постоянно пытается переподключиться каждый раз, когда завершает задание. Лучше всего сработает "factory reset" параметров сети (не самого принтера, достаточно через меню network) и потом переконфигурировать вайфай с нуля, расположив принтер буквально рядом с роутером.
Кроме того, проверь в логах принтера наличие ошибок аутентификации - зайди в веб-панель принтера (узнай IP из меню сети) и посмотри в разделе "Event Log" или "System Log". Если видишь повторяющиеся сообщения типа "authentication failed", значит, вайфай каждый раз требует доступ, то есть учётные данные не сохраняются корректно. В этом случае полезно временно отключить любой MAC-фильтр на роутере и переделать подключение.