Rechtlich ist es eigentlich so: Eine Krankschreibung bescheinigt dir Arbeitsunfähigkeit, und dazu gehört auch, dass du dich nicht selbst durch Arbeit belastest und damit deine Genesung gefährdest.
Dein Chef kann dich nicht einfach verpflichten, Mails zu bearbeiten. Was oft übersehen wird: Selbst wenn du dich fit genug für ein paar Nachrichten fühlst, kann das dem Arzt später Probleme machen, wenn die Erkältung sich verschleppt - er könnte die Krankschreibung dann kritisch sehen.
Kurz gesagt, sag deinem Chef höflich, dass du dich ärztlich krankschreiben lassen hast und dich deshalb nicht an berufliche Aufgaben halten solltest.