Lo que describes me resulta bastante familiar porque lo he visto en gente de mi entorno y la verdad es que hay un factor que muchos se pasan por alto: la calidad del sueño no es lo mismo que la cantidad. Puedes estar durmiendo esas 8 horas pero si tu cuerpo no entra en las fases profundas de sueño, te despiertas igual de hecho polvo. Esto pasa mucho más de lo que la gente piensa, sobre todo con cambios de temperatura en la habitación, luz (aunque sea mínima), ruido de fondo que no reconoces conscientemente pero tu cerebro está procesando, o incluso cambios en tu rutina nocturna.
Dicho esto, sí, definitivamente ve al médico. Un mes así es suficiente tiempo como para descartar cosas tipo anemia, problemas de tiroides, deficiencia de vitamina D o incluso depresión leve, que a menudo no viene acompañada de tristeza obvia sino solo de ese agotamiento que no se quita ni durmiendo. El estrés crónico también agota pero de forma diferente, y en tu caso parece algo más fisiológico que mental.
Un truco práctico que no veo que hayan mencionado: mantén un diario de una semana anotando a qué hora te acuestas, a qué hora te despiertas de verdad (no cuenta el estar dándote vueltas en la cama), cómo te sientes al despertar exactamente (¿confuso?, ¿bloqueado?, ¿con presión en el pecho?), y qué desayunas. Llévalo al médico. Los doctores entienden mucho mejor el cuadro cuando ves patrones que cuando solo le cuentas "me siento cansado". Y mientras tanto, asegúrate de que tu habitación sea realmente oscura (si hay luz de móvil, tapa el router, lo que sea), que la temperatura sea fresca, y que no estés ingiriendo cafeína después de las 14h aunque te parezca poco.