En gros oui, le document privé fonctionne, mais il y a un détail important que plusieurs personnes oublient. Le papier que vous deux avez fait est valide légalement, mais ça ne veut pas dire que ce soit suffisant pour tout. Quand tu iras à la préfecture pour changer les papiers du véhicule, ils vont vérifier que c'est bien signé, que ça a les données correctes de vous deux, la plaque d'immatriculation, le numéro de châssis... tout ça. Si vous l'avez fait avec soin et que c'est tout clair, probablement qu'ils vous l'acceptent sans problème. Maintenant, le truc c'est que si quelque chose va mal après (une réclamation, un problème de financement, n'importe quoi), un document privé entre deux potes c'est beaucoup plus faible qu'un document devant notaire. Je ne dis pas qu'il s'est passé quelque chose de bizarre, mais légalement parlant, sans notaire il y a moins de protection pour vous deux.
Mon conseil réaliste c'est que tu vérifies directement auprès de la préfecture ou du registre automobile local de votre région, parce que même si dans la plupart des endroits ils acceptent le document privé, certains demandent des trucs plus spécifiques. Certains registres te disent de leur apporter le papier comme ça et voilà, d'autres te demandent qu'on le certifie, d'autres te demandent un modèle de contrat spécifique. C'est une demi-heure d'appel et tu n'auras plus de doutes. Si pour une raison ou une autre le registre dit que ça ne leur convient pas, là oui vous devrez aller chez le notaire, mais vous êtes quasi sûrs qu'ils vous l'acceptent. L'important c'est que le document soit bien fait : noms complets, numéros d'identité, plaque d'immatriculation et numéro de châssis corrects, montant, date et les deux signatures claires.