Prova ad avviare l'auto con i cavi di un altro veicolo collegati direttamente alla batteria per qualche minuto e poi accendila. Se parte in questo modo, il problema è quasi sicuramente la batteria scarica, e hai bisogno di una nuova o almeno di caricarla completamente.
Ora, se questo non funziona o l'auto si spegne poco dopo l'avvio, decisamente devi controllare l'alternatore. Mi è capitato qualcosa di simile con la mia auto qualche anno fa: tutto sembrava puntare alla batteria, i morsetti erano puliti come nel tuo caso, ma quando l'ho portata dal meccanico è risultato che l'alternatore aveva smesso di caricare. L'alternatore è quello che mantiene la batteria carica mentre il motore funziona, quindi se smette di funzionare, la batteria si scarica rapidamente anche se è in buone condizioni. Con un multimetro puoi verificare: se la batteria segna tra 12,6 e 12,8 volt quando l'auto è spenta, va bene; ma se è sotto i 12 volt, è scarica. L'importante è che controlli anche la tensione quando il motore è acceso, deve salire a circa 13,5-14,5 volt. Se non sale, l'alternatore non sta facendo il suo lavoro.
Un'altra cosa da escludere è che i cavi della batteria, anche se i morsetti sembrano puliti, potrebbero essere corrosi internamente o allentati. A volte la corrosione è dentro lo stesso cavo e non si vede da fuori. Comunque, è più probabile che tu cominci provando con i cavi di un altro auto, perché ti dà una risposta veloce e senza spendere nulla.