O que descreves me é bastante familiar porque vi isso em pessoas do meu círculo e a verdade é que há um fator que muita gente deixa passar: a qualidade do sono não é a mesma coisa que a quantidade. Podes estar dormindo essas 8 horas mas se o teu corpo não entra nas fases profundas de sono, acordas igualmente destruído. Isso acontece muito mais do que as pessoas pensam, principalmente com mudanças de temperatura no quarto, luz (mesmo que mínima), ruído de fundo que não reconheces conscientemente mas o teu cérebro está processando, ou até mesmo mudanças na tua rotina noturna.
Dito isto, sim, definitivamente vai ao médico. Um mês assim é tempo suficiente para descartar coisas como anemia, problemas de tiróide, deficiência de vitamina D ou até mesmo depressão leve, que muitas vezes não vem acompanhada de tristeza óbvia mas só desse cansaço que não passa nem dormindo. O stress crónico também esgota mas de forma diferente, e no teu caso parece algo mais fisiológico que mental.
Um truque prático que não vejo que tenham mencionado: mantém um diário de uma semana anotando a que hora te deitas, a que hora acordas de verdade (não conta estar a dar voltas na cama), como te sentes ao acordar exatamente (confuso?, bloqueado?, com pressão no peito?), e o que comes no pequeno-almoço. Leva ao médico. Os doutores entendem muito melhor o quadro quando ves padrões do que quando só lhes dizes "sinto-me cansado". E enquanto isso, assegura-te de que o teu quarto é realmente escuro (se há luz do telemóvel, cobre o router, o que for preciso), que a temperatura seja fresca, e que não estejas a ingerir cafeína depois das 14h mesmo que te pareça pouco.