Dois meses ainda é muito pouco para melhorias visíveis, especialmente se você não corria antes. O corpo se adapta mais lentamente do que a gente gostaria. Mas o problema não é só o tempo, é como você está treinando. Se toda vez você corre no mesmo ritmo e mesma distância, o corpo se acostuma rápido e para de evoluir - por isso não há progresso e a respiração não melhora.
Tente variar os treinos: um dia corrida lenta e tranquila (quando você consegue conversar em frases), no segundo dia com acelerações ou intervalos (alternando rápido-lento), terceiro dia novamente aeróbico, mas um pouco mais longo que o normal. Esse esquema força o corpo a se adaptar de diferentes formas e desenvolve tanto resistência quanto velocidade. A respiração volta ao normal quando o organismo aprende a usar o oxigênio de forma mais eficiente - isso acontece justamente com treinos variados.
Preste atenção também na recuperação: quanto você dorme, como se alimenta, talvez esteja esgotado por overtraining ou estresse. E não fica fixado no tempo dos 5 km - ele vem. Primeiro trabalhe as sensações: a respiração deve ficar mais leve, correr mais confortável. Os números vêm mais ou menos em um mês e meio, quando a base ficar mais forte.