Главное - не думать, что это "его" проблема и "его" вещи. Формально да, квартира его, но вы же подписали акт приёма-передачи именно потому, чтобы задокументировать состояние. Если там что-то осталось - это уже ваша головная боль, пока вы собственник или пока документально не передадите всё чистым.
Самый простой и безопасный способ - отправить ему заказное письмо с уведомлением о вручении. В письме указываете, что в квартире остались его вещи, просите их забрать в течение разумного срока (обычно дают от 7 до 30 дней). Это создаёт бумажный след. После истечения срока, если он не явится, можно обратиться в суд с исковым заявлением о понуждении к вывозу имущества или о возмещении убытков на хранение и уборку. Суд обяжет его либо забрать вещи, либо компенсировать ваши расходы.
Но есть и более практичный вариант, который часто работает быстрее - позвоните ему и скажите прямо: мол, вещи мешают, съём квартиру на время ремонта или продажи недвижимости, поэтому завтра-послезавтра они пойдут на свалку. Иногда такой "ультиматум" заставляет людей шевелиться намного быстрее, чем официальные письма. Главное - потом не трусить и действительно привести дизайнера или грузчиков, которые всё вывезут. Когда он поймёт, что вы серьёзны, обычно объявляется.